第4章输入建模教案

项目	内容
课程名称与性质	交通运输系统仿真（Transportation System Simulation）；交通运输专业必修课，第V学期
课程编号·学分·学时	0030108805；2学分；32学时（每周4学时，共8周，自第10周起）
授课对象	交通运输专业本科生（教学进度表适用年级：23级）
授课教师	李季涛（交通工程学院交通运输系）
使用教材	李季涛编《交通运输系统仿真——使用AnyLogic》，中国铁道出版社，2025
对应课件	课件04《输入建模》（课件文件“交通运输系统仿真课程课件-2025-04”，共66页）
对应大纲模块与课程目标	知识模块 C4（输入数据分析）；主要支撑 O3，同时支撑 O4（为 AnyLogic 模型提供输入分布）
本章学时	4学时 = 2课次 × 2学时（每课次90分钟），安排在第16周；与大纲 C4 建议学时一致

课程教学进度安排

课次	周次	教学内容（对应课件页码范围）	学时
13	第16周	仿真常用统计模型：离散分布、连续分布、泊松过程（课件无专页，补充讲授，呼应第63、64、61页）；4.1 输入建模概述（第3–7页）；4.2 数据收集及样本独立性评估（第8–17页）	2
14	第16周	4.3 分布类型假设（第18–33页）；4.4 参数估计（第34–38页）；4.5 拟合优良度检验：卡方、K-S、p值与“最佳拟合”（第39–57页）；4.6 输入分布选择：非平稳泊松过程、无数据的输入模型（第58–66页）；布置作业3	2

说明：教学进度表把本章内容记为“4 仿真中常用的统计模型”与“5 仿真输入建模”两个条目，条目编号与课件04内部的 4.1–4.6 小节编号不同，本教案以课件小节编号为准。进度表中的“离散分布、连续分布、泊松过程”在课件04中没有独立页面，本教案作为补充内容放入课次13。

教学目标与重点难点

教学目标

知识：说明输入建模的三种情形、观测数据的三种使用方法（跟踪驱动、经验分布、理论分布）及各自优缺点；复述“收集数据—假设分布—估计参数—拟合优良度检验”的理论分布建模步骤。
知识：区分离散与连续常用分布，说明泊松过程中“计数服从泊松分布、间隔服从指数分布”的对应关系，并指出指数、三角、均匀、正态分布各自的适用场合与风险。
能力：运用点统计法（变异系数）、直方图法、q-q图对样本数据作分布假设，并估计参数。
能力：独立完成一次卡方拟合优良度检验的手工计算（分组、期望频数、统计量、自由度、临界值比较），并会读软件输出的统计量与 p 值，作出“排除/不能排除”的结论。
素养：能辨别输入数据与输出数据，评估数据的时变、非独立、陈旧等问题，对无数据情形做敏感性分析，对软件“最佳拟合”结果保持审慎的专业判断。

教学重点

理论分布建模的四个步骤及观测数据的三种使用方法（课件第5–7页）。
常用分布的参数及适用范围，泊松过程与指数分布的对应关系。
分布类型假设的三种方法：点统计法、直方图法、概率图法（第19–33页）。
卡方检验的原理和基本过程（进度表重点）；K-S 检验与 p 值的使用。

教学难点

泊松过程及其性质（进度表难点）。突破策略：以车站进站口客流为载体，从“固定速率下数人头”出发，用同一速率同时回答“30分钟来几人”和“相邻两人间隔多久”，让学生自己发现两种分布是同一过程的两个侧面。
p 值的定义、显著性水平与置信度（进度表难点）。突破策略：用课件第54页同一组数据下四种分布、两种检验的结论表，逐行追问“p 值小于 5% 意味着什么”，并强调“不能排除”不等于“证明服从”。
卡方检验中分组合并与自由度的确定。突破策略：教师给出实例4.2（课件第43–45页）的20个等概率区间及观测频数，学生按行分工计算 $(f_j-np_j)^2/(np_j)$ ，先验证每个区间 $np_j\ge5$ ，再数区间数 $k$ 、减去已估参数个数 $r$ 得自由度 $k-r-1$ ，避免只背公式。
样本独立性与时变数据对“独立同分布”前提的影响。突破策略：用相邻观测值散点图和课件第10页的早晚高峰例子正反对照，说明为什么不能把全天数据混在一起拟合。

思政目标

S01 数据诚信与实证精神：输入建模的前提是真实、可追溯的观测数据（课件第12页 GIGO）；结合作业3的实地调研，要求保留原始记录和现场照片，不挑选、不编造样本，培养科学研究的诚信品格。
S02 工程决策责任：以课件第12页“输入数据不准确会导致浪费甚至破坏”和第64页“百万分之一的可能照样会发生”为切入点，讨论车站、线路规划一旦建立在错误输入上的后果，树立对安全和公共资源负责的意识。
S03 人机分工与专业判断：课件第53页强调“最终做出选择的应该是人而不是软件”。通过第54页检验结论不一致的案例，引导学生在使用 SPSS、Origin 等自动化工具时坚持理解原理、核查结果、对结论负责。

教学方式与媒体资源

主要教学方式

案例驱动讲授：全章以“路口车辆到达间隔（实例4.1，219个数据；实例4.2 对其作卡方检验）”“高铁车站旅客到达间隔（实例4.3，50个数据；实例4.5 为分时段到达速率）”“高铁车站高架落客区车辆到达间隔（实例4.4）”三个真实场景贯穿。
课堂演算：泊松过程速率计算、输入/输出数据判断、卡方检验手工演算、非平稳泊松速率估计，学生以3–4人小组（与作业3分组一致）协作完成并上报结果。
软件演示与对照：Excel 作散点图、直方图；Origin 或 SPSS 作概率图与拟合检验；对照课件第57页 Arena 输入分析器截图。
提问研讨：围绕“最佳拟合是否可靠”“无数据时怎么办”组织短讨论。
任务衔接：课次14末布置作业3，把课堂方法直接迁移到学生自己的调研数据。

使用媒体资源

课件04：第5–7页（数据使用方法与建模步骤）、第16–17页（独立数据与正相关数据的相关系数图、散点图对照）、第20页（常用连续分布变异系数表）、第24页（实例4.1 原始数据）、第26–29页（三种组距的直方图）、第30页（分组频数表）、第31、33页（累积频率图与 q-q 图）、第38页（建议使用的估计量表）、第44–45页（实例4.2 卡方检验计算表与结果判断）、第48–51页（实例4.3 数据、直方图与 K-S 计算表）、第54–57页（实例4.4 与 Arena 输入分析器）、第61页（非平稳泊松数据表）、第63页（无数据分布特征表）。
课件02第71页（售票机例：到达间隔指数分布、服务时间三角分布）、课件03（反变换法生成指数、均匀、三角分布随机变量，以及 AnyLogic 排队模型中的分布参数设置），用于承接前后章节。
工具：Excel（函数 EXPON.DIST、CHISQ.INV.RT、CHISQ.DIST.RT 等；散点图、直方图）、Origin 或 SPSS（概率图、拟合检验）、AnyLogic（参数设置对应）。
教师自备：演算卡（打印）、实例4.1 数据 Excel 文件、课堂演算参考答案表。

参考书与参考资料

[1] 李季涛编. 交通运输系统仿真——使用AnyLogic. 中国铁道出版社, 2025.
[2] Jerry Banks 著, 王谦译. 离散事件系统仿真（原书第5版）. 机械工业出版社, 2019.（输入建模相关章节）
[3] Averill M. Law 著, 范文慧等译. 仿真建模与分析（原书第5版）. 机械工业出版社, 2017.（输入分布选择与拟合检验相关章节）
[4] 刘亮编. 复杂系统仿真的AnyLogic实践（第2版）. 清华大学出版社, 2023.
[5] Andrei Borshchev. The Big Book of Simulation Modeling. AnyLogic North America, 2013.
概率论与数理统计教材（先修课程“概率统计（A）”），用于复习分布与假设检验。

课前准备

教师准备

熟悉课件04中以图片或公式呈现的页面（第14–17、21–23、25–29、35–38、40–45、50–51、60页）的公式、图示和计算表，排好板书与投影顺序。
把课件第24页的219个数据录入 Excel，复算均值、标准差、变异系数及第30页分组表；再按 $a_j=-\bar X\ln(1-j/20)$ 复算实例4.2 的20个等概率区间边界、观测频数和 $\chi^2$ 统计量，作为课堂演算的演示数据（教师参考答案见课次14）。
复算实例4.3 的 K-S 统计量（包括各取值点跳跃前、后两侧的偏差），临界值按课件第51页 $D_{n,\alpha}=1.36/\sqrt n$ 确定结论。
准备 Origin 或 SPSS 的概率图与拟合检验演示文件；准备一页“输入数据 vs 输出数据”判断题和泊松过程练习题。
提前向学生说明作业3要求（第3次作业，15分，团队合作，不少于50个有效样本），课次13课后预留一周调研时间。

学生准备

复习概率统计：期望与方差、泊松分布、指数分布、正态分布、假设检验的基本思想。
回看课件02第71页和作业2的输入要求（到达间隔指数分布、服务时间三角分布），思考“这些分布是怎么来的”。
携带计算器或笔记本电脑（含 Excel），按作业3的分组方式落座。

教学过程

第13课次（第16周）常用统计模型与输入建模基础

环节与时间	教学内容（课件页）	教师活动	学生活动	设计意图 / 学习证据
导入（8分钟）	课件02第71页：售票机例中“到达间隔均值5分钟的指数分布、服务时间三角分布（1，3，6）”；课件04第1–2页本章结构	回放售票机例与作业2的输入规定，提问：“这些分布参数是谁定的？如果换成一个真实车站，你凭什么说到达间隔服从指数分布？”引出输入建模；展示本章六个小节	回忆作业2，口头回答；用一句话写下“输入建模要解决的问题”	从学生熟悉的作业切入，建立“模型输入需要证据”的问题意识；证据：学生口头回答与一句话记录
新授一：常用统计模型与泊松过程（25分钟）（补充内容）	离散分布（如伯努利、二项、泊松）与连续分布（均匀、指数、三角、正态）的参数与用途；泊松过程性质：不相交时段到达数独立， $N(t)\sim \text{Poisson}(\lambda t)$ ，到达间隔独立同服从指数分布，均值 $1/\lambda$ ；对照课件第63页（指数、三角、均匀的特征与实例）、第64页（正态分布的负值问题）	板书“离散/连续”两列，各列写出参数、典型交通对象；演示用同一速率 $\lambda$ 导出两个结论；布置课堂练习A：到达服从泊松过程，速率取课件第61页8:00–8:30估计值24人/小时，求 (1) 30分钟平均到达人数；(2) 到达间隔的分布和均值；(3) 5分钟内无人到达的概率	小组演算练习A；预期答案：(1) 12人；(2) 指数分布，均值2.5分钟；(3) $e^{-2}\approx 0.135$ ；小组代表上板讲解	突破泊松过程难点，把“计数”与“间隔”打通；证据：练习A小组答案与上板讲解
新授二：输入建模概述（15分钟）	4.1：三种情形（第4页）；数据的三种使用方法及优缺点（第5–6页）；理论分布建模的四个步骤（第7页）	以地铁发车间隔为例讲跟踪驱动仿真，说明其只能复现历史数据、常用于模型确认；讲经验分布的优点；归纳理论分布的四条优势（平滑、可生成极端值、存储少、易改参数）；带学生读第7页四步骤，强调“近似不令人满意要回到第2步重选分布，多次迭代仍不能拟合则采用经验分布”	完成“三种方法比较表”（适用条件、优点、缺点）；回答“为什么本讲重点是第二种情形”	形成对输入建模全貌的框架认识；证据：学生填写的比较表
新授三：数据收集（20分钟）	4.2.1 收集数据的特性（第9–10页：陈旧、非预期、时变、非独立）；4.2.2 收集建议（第11–13页：时间推延与概率、敏感性分析、数据质量与模型详细程度、费用、GIGO、输入数据与输出数据的区别）；融入 S01、S02	结合铁路车站、地铁高峰例子讲解四类数据问题；课堂练习B：给出“旅客到达间隔、平均排队等待时间、服务时间、服务台利用率、乘客选择乘地铁的比例”，让学生判断哪些是输入、哪些是输出；以 GIGO 讨论数据造假与错误输入的后果	小组完成练习B并举手表决；讨论“节假日客流数据能否与平日混合拟合”；记录作业3调研方案的要点	区分输入与输出，是作业3的前提；证据：练习B答案；S01、S02 讨论发言
新授四：样本独立性评估（12分钟）	4.2.3：独立同分布前提与两种图形评估方法（第14–15页）：相关系数图（ $\hat\rho_j=\hat C_j/S^2(n)$ ， $\hat C_j=\sum_{i=1}^{n-j}[X_i-\bar X][X_{i+j}-\bar X]/(n-j)$ ，独立时 $\rho_j=0$ ， $\hat\rho_j$ 与0有很大差异即为不独立的有力证据）与散点图（点 $(x_i,x_{i+1})$ ）；两组对照图（第16–17页）	在 Excel 中把实例4.1（第24页）数据按顺序取相邻对 $(X_i,X_{i+1})$ 作散点图并用 CORREL 近似求一阶相关系数（教师课前复算约0.14）；对照课件第16页（均值为1的指数分布100个独立观测， $\vert\hat\rho_j\vert$ 最大约0.18，散点无趋势）与第17页（售票机单服务台排队的100个等待时间，服务台利用率0.87， $\hat\rho_1$ 约0.88并随 $j$ 增大趋近0，散点趋于正斜率直线，等待时间正相关），说明点无趋势才支持独立性	跟随操作，自行画出散点图并描述“有无线性趋势”；说出独立性为何是拟合分布的前提	为后续分布拟合立前提；证据：学生本机散点图与口头结论
小结与布置（10分钟）	回顾本课次要点；布置作业3启动任务；预告下次课将做卡方检验手工演算	用思维导图小结“常用分布—输入建模步骤—数据收集注意事项”；公布作业3的选题方向、不少于50个有效样本、需现场照片的要求；提示带上本组调研计划	小组确定调研对象、地点、时间和方法，记录在调研计划草稿中	把课堂内容落到作业任务；证据：各组调研计划草稿，下次课抽查

第14课次（第16周）分布假设、拟合检验与输入分布选择

环节与时间	教学内容（课件页）	教师活动	学生活动	设计意图 / 学习证据
导入与回顾（5分钟）	第7页建模步骤；第24页实例4.1：某十字路口某方向219个车辆到达间隔（分钟）	抽查各组调研计划；提问：“拿到这219个数据，第一步能说出它像什么分布吗？”	回忆四步骤，各组简述自己调研数据的类型（间隔时间或概率）	衔接上节课与作业3；证据：小组陈述
新授一：分布类型假设（22分钟）	4.3.1 点统计法：变异系数 $\delta=\sqrt{Var(X)}/E(X)$ ，估计 $\hat\delta=S(n)/\bar x(n)$ ，常用连续分布变异系数表（第19–20页）；4.3.2 直方图法：分组数经验公式 $k=[1+3.2\ln n]$ 、 $k=[\sqrt n]$ 、 $k=[1+\log_2 n]$ ，组距 $\Delta b=(b_k-b_0)/k$ ，组频数、组频率、频率密度，作图（第21–29页：实例4.1 取 $\Delta b$ =0.05、0.10、0.50 三种组距对比，分组频数表第30页、累积频率图第31页）；4.3.3 概率图法： $y_j$ 对 $F^{-1}((j-1/2)/n)$ 的 q-q 图及直线性判断三条（第32–33页）	讲变异系数：指数分布恒为 $\delta=1$ ；伽马分布 $\delta=1/\sqrt\alpha$ （ $\alpha<1$ 时 $\delta>1$ ， $\alpha>1$ 时 $\delta<1$ ）；均匀、正态、对数正态、贝塔、三角等分布的 $\delta$ 见第20页表，其取值范围多有重叠，故点统计法不能唯一确定分布。演示 Excel 计算实例4.1 的均值、方差与变异系数（第25页： $\bar X(219)=0.391$ 分钟， $S^2(219)=0.137$ ， $\hat\delta=\sqrt{0.137}/0.391=0.947$ ，接近指数分布的1）。讲直方图：第24页数据最小值0.01、最大值1.96，取 $b_0=0$ 、 $b_k=2$ ；对比第26–28页三张直方图——0.05区间过小，有毛刺；0.50区间过大，粗糙；0.10区间合理，其形状与指数分布密度曲线相似；带学生读第30页分组表，逐列解释组频数、组频率、组频率密度（频率/组距）、累积频率，第31页累积频率曲线与指数分布的累积分布函数相似，因此假设服从指数分布。讲第33页 q-q 图直线性的三点注意事项（数据不会正好落在直线上；有序观测值不独立；极值点处可接受较大差异，中部点的直线性更重要），实例4.1 以样本均值0.39分钟作指数分布均值估计，q-q 图中部点基本落在直线上，仅最大的几个点偏高；强调是否拒绝某个假设分布的决定往往是主观的	课堂快练：在第30页表中验算一行的频率密度（如第一组 $0.224/0.10=2.24$ ）；观察第31页累积频率图，口头说出为何假设指数分布；描述 q-q 图中哪些点偏离可以接受	掌握三种假设方法并认识其局限；证据：快练结果与口头判断；对应作业3第（2）项
新授二：参数估计（6分钟）	4.4.1 样本均值和样本方差（第35–37页）：原始数据 $\bar X=\sum X_i/n$ 、 $S^2=(\sum X_i^2-n\bar X^2)/(n-1)$ ；离散频度分布 $\bar X=\sum f_jX_j/n$ ；连续数据已分组时的近似式 $\bar X\doteq\sum f_jm_j/n$ 、 $S^2\doteq(\sum f_jm_j^2-n\bar X^2)/(n-1)$ （ $m_j$ 为组中值）；4.4.2 建议使用的估计量（第38页，均为原始数据上的极大似然估计）	说明分布类型假设后用样本估计参数；连续数据尽量用原始数据，仅有分组数据时才用组中值近似，以实例4.1 的第30页分组表为例得 $\bar X\doteq 0.4057$ 、 $S^2\doteq0.1437$ 、 $\hat\delta\doteq0.9343$ （与原始数据结果 0.391、0.137、0.947 接近）。讲第38页建议估计量表：泊松分布 $\hat\alpha=\bar X$ ；指数分布 $\hat\lambda=1/\bar X$ ；正态分布 $\hat\mu=\bar X$ 、 $\hat\sigma^2=S^2$ （无偏）；对数正态分布先对数据取自然对数，再取 $\hat\mu=\bar X$ 、 $\hat\sigma^2=S^2$ 。区分“参数”（未知常数，用 $\alpha$ 表示）与“估计”（统计量，用 $\hat\alpha$ 表示）；实例4.1 得 $\hat\lambda=1/\bar X=1/0.391=2.558$ （次/分钟），即均值0.391分钟；强调所估参数需要代入后续检验	在笔记中写出指数分布参数 $\hat\lambda$ 与样本均值的倒数关系	为拟合检验准备已知参数；证据：笔记
新授三：卡方检验与课堂演算（25分钟）	4.5.1 卡方检验（第40–45页）：假设 $H_0$ ：总体分布函数为 $F(x)$ ；注意事项（样本量 $n\ge50$ ；每个 $np_i\ge5$ 且最好在5以上，否则合并区间，区间数宜在30–40以下；连续分布应按概率相等而非宽度相等分区间）；等概率区间边界 $a_j=F^{-1}(j/k)$ ；检验步骤；实例4.2（第43–45页）：对实例4.1 的219个数据检验指数分布	讲解原理（8分钟）：统计各区间观测数 $f_i$ （ $\sum f_i=n$ ），按拟合分布求期望个数 $np_i$ ， $p_i=\int_{a_{i-1}}^{a_i}\hat f(x)\,dx$ ，统计量 $\chi^2=\sum_i (f_i-np_i)^2/(np_i)$ ；若拟合分布中有 $r$ 个参数由观测数据极大似然估计得到，则当 $\chi^2<\chi^2_\alpha(k-r-1)$ 时在显著性水平 $\alpha$ 下接受 $H_0$ ，否则拒绝；建议按 $np_i$ 为常数（如10）划分区间， $p_1=\dots=p_k=1/k$ 。带学生读实例4.2： $n=219$ ，要求 $p\ge5/n$ ，取 $k=20$ ， $p=0.05$ ， $np=10.95$ ，满足 $np\ge5$ ；指数分布 $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ 的反函数 $x=-\frac1\lambda\ln(1-F)$ ，故 $a_j=-0.391\ln(1-j/20)$ ，由此得第44页的20个区间；发放演算卡，布置课堂演算（17分钟）：演算卡给出第44页各区间的观测频数 $f_j$ ，各小组分工计算若干行 $(f_j-10.95)^2/10.95$ ，全班汇总求和，确定自由度，查表作结论	各小组领取4行左右的任务（共20行），用计算器或 Excel 计算；上报结果，由教师在板上填表；全班求和并与临界值比较；讨论为什么此处自由度要减去1个已估参数	手工完成卡方检验，是作业3第（3）项的核心；证据：演算卡与汇总表，教师参考答案见表后
新授四：K-S 检验、p值与最佳拟合（14分钟）	4.5.2 K-S 检验（第46–51页）：不需对数据分组，对样本容量较小或不需从数据中估计参数时尤其有用； $D=\max\vert S_n(x)-F_0(x)\vert$ ；四步骤（建立假设、计算 $D$ 、按 $\alpha$ 与 $n$ 查双尾临界值 $D_\alpha$ 、 $D<D_\alpha$ 不能拒绝 $H_0$ ， $D\ge D_\alpha$ 拒绝）；实例4.3 数据（第48页）、直方图（第49页）、 $D$ 计算表（第50页）、结果判定（第51页）；4.5.3 p 值与“最佳拟合”（第52–53页）；实例4.4（第54–57页：Origin 对正态、对数正态、指数、伽马四种分布的 K-S 与 A-D 检验结果表及概率图，Arena 输入分析器对实例4.1 数据的拟合结果）	以实例4.3 的50个高铁车站旅客到达间隔（均值2.2818分钟，直方图5组频数约为23、13、7、6、1，形状与指数密度曲线相似）说明 K-S 不需分组：假设 $H_0:F(x)=1-e^{-x/2.2818}$ ，对11个不同取值逐点比较经验累积频率 $S_n$ 与 $F_0$ ；第50页表中最大偏差出现在 $x=5.10$ ， $D_{\max}=0.0870$ ； $\alpha=0.05$ 、 $n=50$ 时 $D_{50,0.05}=1.36/\sqrt{50}=0.1923$ ， $D_{\max}<D_{50,0.05}$ ，不能拒绝原假设。补充： $S_n(x)$ 是阶梯函数，最大偏差也可能出现在跳跃点的左侧，例如 $x=0.93$ 处 $\vert0.16-0.3347\vert=0.1747$ ，同样小于0.1923，结论不变。再讲第52页：显著性水平 $\alpha$ 是拒绝了事实上正确的 $H_0$ 的概率；p 值是检验统计量取给定值时正好拒绝 $H_0$ 的可能性，p 越大拟合越好，p 小于0.05说明拟合差，高 p 值只说明没有足够证据拒绝。打开第54页检验结果表，逐行提问：K-S 与 A-D 对“指数分布”结论为什么不同（K-S 统计量0.0617、p=0.2695不能排除；A-D 统计量1.5206、p=0.0300排除）？正态分布两种检验的 p 值（2.7322E-6、2.3140E-32）说明什么？结合第55–56页概率图（正态分布明显弯曲，指数分布在小间隔端偏离直线）理解检验结论。看第57页 Arena 输入分析器对实例4.1 的结果：按平方误差排序 Beta 分布（ $2\times\text{BETA}(0.702,2.89)$ ，平方误差0.004377）最小，Erlang 与指数分布并列次之（0.0072）；指数分布 EXPO(0.391) 的卡方检验为8个区间、自由度6、统计量12、p=0.0646，K-S 统计量0.048、p>0.15；对比第45页以20个区间得到的结论，说明不同分组数、不同检验方法会给出不同的评价（第59页）。总结第53页“最佳拟合”的注意事项（目的是平滑数据而非完全符合样本；最佳拟合程序偏向更灵活的分布；摘要统计量不能指出未拟合的位置，要借助图形工具；由分析人员而不是软件做最终选择），融入 S03	读表回答问题；用自己的话写出“p 值小于显著性水平5%时拒绝该分布，大于则只是不能排除”；思考软件推荐的分布（如 Beta）是否一定合适	突破 p 值与显著性水平难点，形成人机分工意识；证据：学生的p值表述与 S03 讨论发言
新授五：输入分布选择与无数据情形（12分钟）	4.6.1 分布选择的基本要求（第59页：没有严格普适的方法，不同检验方法或分组数会导致不同评价； $K\text{-}S$ 、 $\chi^2$ 检验的 p 值都很高（如0.1或更高）时采用理论分布，p 值较低时宜采用经验分布；多个分布拟合相近时，考虑有界或无界、参数是否易调整，无法确定时将备选分布逐一代入模型运行比较）；4.6.2 拟合非平稳泊松过程（第60–61页： $\Delta t=T/k$ ， $\hat\lambda(t)=\frac{1}{n\Delta t}\sum_{j=1}^nC_{ij}$ ；实例4.5 的时间区间旅客到达人数与估计速率表）；4.6.3 无数据的分布模型（第62–64页：常用分布特征表、正态分布的使用说明）	课堂演算C：用第61页实例4.5 数据表，由三周同一时段到达人数换算为小时速率，如8:30–9:00为 $\frac{1}{3\times\frac12}(23+26+32)=54$ 人/小时；学生验证8:00–8:30为24、9:00–9:30为52、9:30–10:00为30人/小时；8:30–9:00与9:00–9:30的速率相近（54与52），可考虑合并，合并后速率为 $\frac{81+78}{3\times1}=53$ 人/小时；讲无数据时优先考虑指数、三角、均匀，正态分布的负值置0风险（第64页）；强调必须做敏感性分析	小组计算练习C并核对；讨论“服务时间为什么常用三角分布而不是正态分布”；回忆作业2中的三角分布参数	理解时变到达的处理与无数据时的稳健选择；证据：练习C答案与讨论发言
小结与布置（6分钟）	本讲总结与基本要求（第65页）；作业3要求	带领回顾四步骤与三种检验工具；说明作业3：采集不少于50个有效样本、均值方差与变异系数、直方图、Q-Q图、手工卡方或K-S检验、软件求p值并给出结论；提醒真实数据与现场照片	记录作业要求；各组确认调研时间表	实现从课堂到作业3的迁移；证据：作业3任务单与小组分工表

卡方课堂演算参考答案表（实例4.2，课件第44页）：样本量 $n=219$ ， $\hat\lambda=1/0.391$ ， $k=20$ 个等概率区间，每个区间 $p_j=0.05$ 、 $np_j=10.95$ 。

$j$	区间（分钟）	观测频数 $f_j$	期望频数 $np_j$	$(f_j-np_j)^2/(np_j)$
1	0.000–0.020	8	10.950	0.795
2	0.020–0.042	11	10.950	0.000
3	0.042–0.065	14	10.950	0.850
4	0.065–0.089	14	10.950	0.850
5	0.089–0.115	16	10.950	2.329
6	0.115–0.142	10	10.950	0.082
7	0.142–0.172	7	10.950	1.425
8	0.172–0.204	5	10.950	3.233
9	0.204–0.239	13	10.950	0.384
10	0.239–0.277	12	10.950	0.101
11	0.277–0.319	7	10.950	1.425
12	0.319–0.366	7	10.950	1.425
13	0.366–0.419	12	10.950	0.101
14	0.419–0.480	10	10.950	0.082
15	0.480–0.553	20	10.950	7.480
16	0.553–0.642	9	10.950	0.347
17	0.642–0.757	11	10.950	0.000
18	0.757–0.919	9	10.950	0.347
19	0.919–1.195	14	10.950	0.850
20	1.195以上	10	10.950	0.082
合计		219	219.0	$\chi^2\approx 22.19$

判断：区间数 $k=20$ ，指数分布的参数 $\lambda$ 由样本均值估计， $r=1$ ，自由度 $k-r-1=18$ ；取显著性水平 $\alpha=0.10$ ，查 $\chi^2$ 分布表得 $\chi^2_{0.10}(18)=25.989$ （Excel：=CHISQ.INV.RT(0.10,18)）。因 $\chi^2=22.188\le25.989$ （对应 p 值约0.22，Excel：=CHISQ.DIST.RT(22.188,18)），在 $\alpha=0.10$ 时没有理由拒绝假设的分布函数，即不能拒绝“实例4.1 数据服从指数分布”，与课件第31页直方图法的假设一致；若取 $\alpha=0.05$ ， $\chi^2_{0.05}(18)=28.869$ ，结论相同。注意：这里的结论是“不能拒绝”，不是“证明服从”。

课堂练习与课后作业

课堂练习（课次13）：练习A（泊松过程三问）、练习B（输入数据与输出数据判断）、Excel 散点图与一阶相关系数。
课堂练习（课次14）：快练（第30页频率密度验算）、卡方课堂演算（实例4.2：20个等概率区间、自由度与临界值）、读第54页检验结果表、练习C（第61页实例4.5 非平稳泊松速率估计）。
课后作业：对应大纲课程作业3（输入数据分析），15分，团队合作（随机分组，每组3–4人），成果为 Word 分析报告，文件命名“第**小组-第3次作业”。要求如下：
1. 调研数据收集：说明调研目的、时间、地点和方法；表格整理数据，不少于50个有效样本，附现场照片；
2. 调研数据处理：计算均值、方差和变异系数，用 SPSS、Origin 或电子表格绘制直方图并初步判断理论分布，绘制 Q-Q 图；
3. 调研数据分析：手工完成卡方检验或 K-S 检验；用软件计算候选分布的检验统计量与 p 值，选取一个以上较好的分布，并结合仿真建模需求给出有效结论。
选做：对实例4.3（第48页）的50个数据，用手工方法计算 K-S 统计量并与临界值比较，写出判断过程。
与其他环节的衔接：本章结论为课程设计和作业4的 AnyLogic 建模提供输入分布；课件03的反变换法随机变量生成可与本章分布假设对照复习。

教学评价

本章形成性评价证据与课程目标的对应关系如下，不另设校定分值。

评价证据	来源	对应课程目标
练习A、B、C答案与上板讲解	课次13、14课堂	O3（常用分布、泊松过程、输入输出数据的区分与处理）
Excel 散点图与相关系数、实例4.1 变异系数与分组表验算	课次13、14课堂	O3（用统计分析工具处理数据）、O1（理解随机输入）
卡方课堂演算卡与汇总表	课次14	O3（拟合优良度检验与解释）
对第54页检验结果表的解读和 p 值表述	课次14	O3（对分析结果作解释）、O4（理解输入分布对模型结果的影响及局限）
作业3 调研数据、分布假设与检验报告	课后（15分，大纲中O3的唯一支撑考核项）	O3（权重1.0）
课堂表现（参与讨论、S01–S03 研讨发言）	全程	课堂表现（5分）

评价说明：O3 达成度由作业3的得分比例计算；课堂练习作为过程证据，用于及早发现学生的薄弱点（如自由度、p 值），以便在作业3提交前补讲。

板书设计

第4章 输入建模
├─ 常用分布（补充）
│    离散：伯努利 / 二项 / 泊松      连续：均匀 / 指数 / 三角 / 正态
│    泊松过程：N(t)~Poisson(λt)  ⇔  间隔~Exp(均值1/λ)
├─ 输入建模四步（第7页）
│    收集数据 → 假设分布 → 估计参数 → 拟合检验
│                 ↑__不满意：回第2步重选；仍不行→经验分布__|
├─ 数据收集：陈旧 / 非预期 / 时变 / 非独立；输入数据 ≠ 输出数据；GIGO
├─ 分布假设：点统计(CV) → 直方图 → q-q图（中间点比两端更重要）
├─ 参数估计：x̄、s²、极大似然；指数 λ̂=1/x̄
├─ 拟合检验（卡方演算区）
│    χ² = Σ (fj-npj)²/(npj) ，自由度 k - r - 1（r=已估参数个数）
│    表：j | 区间 | f | np | 贡献    结论：χ² < χ²α(k-r-1) → 不能拒绝
│    K-S：D = max|Sn-F0| ，D < Dα=1.36/√n → 不能拒绝；p值 < 5% → 拒绝
└─ 选择：时变→分段估计速率(非平稳泊松)；无数据→指数/三角/均匀 + 敏感性分析

教学反思（课后填写）

学生能否独立说清泊松过程中“计数服从泊松分布、间隔服从指数分布”的对应关系？哪个练习暴露了理解偏差？
卡方课堂演算中，学生在分组合并与自由度的确定上出现了哪些典型错误？17分钟的演算时长是否合适？
学生对“不能排除”与“证明服从”的区分是否到位？作业3启动后，各小组的数据来源和分布假设思路有哪些问题需要在下次课前补讲？

交通运输系统仿真

第4章 输入建模 教案