第3章排队系统建模与仿真教案

项目	内容
课程名称与性质	交通运输系统仿真（Transportation System Simulation）；交通运输专业本科专业必修课（理论课）
课程编号·学分·学时	0030108805 · 2 学分 · 32 学时（第 V 学期）
授课对象	交通运输专业（2023 级，2025 秋）
授课教师	李季涛（交通运输工程学院交通运输系）
使用教材	李季涛编《交通运输系统仿真——使用AnyLogic》，中国铁道出版社，2025
对应课件	课件03《排队系统建模与仿真》（共 46 页）
对应大纲模块与课程目标	C3 排队系统建模与仿真；支撑 O2（电子表格排队仿真）、O4（AnyLogic 建模与简单实验设计）；通过与排队论结果对照，兼顾 O1
本章学时	8 学时（4 课次 × 2 学时，每课次 90 分钟），第 14–15 周

课程教学进度安排

课次	周次	教学内容（对应课件页码范围）	学时
9	第14周	3.1 排队模型（自学检查，P2）；3.2 随机数的生成（P3–9）；3.3 随机变量的产生（P10–19，含随机变量的产生方法与均匀、指数、三角分布的反变换法）	2
10	第14周	3.4 用电子表格进行排队系统仿真：变量设置、表格设计、仿真运行、仿真实验（P20–30）	2
11	第15周	3.5 AnyLogic 排队系统仿真：软件概述（无对应课件页，教师补充）、阶段1 逻辑模型、阶段2 创建动画（P31–35）	2
12	第15周	3.5 阶段3 统计数据收集、阶段4 蒙特卡洛仿真实验；灵敏度分析与均值比较（教师补充）；本讲总结（P36–46）	2

教学目标与重点难点

教学目标

知识：说明伪随机数的含义与好的随机数发生器应满足的 5 项要求，写出线性同余法的递推公式并说明最大密度与最大循环周期；写出反变换法生成指数、均匀、三角分布随机变量的公式；说明单服务台排队系统电子表格仿真中各列的递推关系。
能力：用 Excel 建立自动售票机单服务台排队仿真模型，输出平均排队等待时间、平均系统逗留时间、服务台利用率、必须排队概率，并设计重复实验给出均值与置信区间半长；用 AnyLogic 过程建模库搭建同一系统，完成动画、统计收集和蒙特卡洛实验。
素养：能把"单次运行"与"重复实验的统计结论"区分开来，用置信区间而不是单个数字表述仿真结果；养成记录参数、如实报告实验次数的习惯。

教学重点

线性同余法 $X_{i+1}=(aX_i+c)\bmod m,\ R_i=X_i/m$ 及其周期。
反变换法生成随机变量的原理与公式（ $X=F^{-1}(R)$ ， $R\sim U(0,1)$ ）。
依据离散事件原理设计单服务台仿真表格（到达时间、开始服务时间、结束服务时间、排队等待、空闲的递推）。
蒙特卡洛重复实验：重复 N 次、记录每次平均排队等待时间，计算均值与置信区间半长。
AnyLogic 过程建模库四个基本模块（Source、Queue、Delay、Sink）的参数设置与统计数据收集。

教学难点

反变换法的原理：为什么把 $U(0,1)$ 随机数代入分布函数的反函数就得到服从该分布的变量。突破策略：用 $P(X\le x)=P(R\le F(x))=F(x)$ 的三行推导，结合课件 P13、P15 的 CDF 图（由 $R$ 作水平线、再向下作垂线得到 $X$ ），再用 $R=0.25,0.75$ 在三角分布上手算，把"概率累积到哪里就取哪个值"画在 CDF 图上。
重复实验设计及直方图绘制（单次运行与 N 次运行的区别）。突破策略：先让学生按 F9 反复重算，看到平均等待时间每次不同，再引入"运行实验"宏，把每次结果收集成直方图。
AnyLogic 中参数、变量、智能体的区别（课件 P35、P37、P40 分别用到 Parameter、Variable）。突破策略：以"旅客自己带的属性（arrivalTime、PassengerType）= 智能体参数；全局计数（servicedNumber）= 变量"做对照表，让学生判断其他例子归属。
数据收集中谁在何时记录时间（P38 的 On exit / On enter 三处代码）。突破策略：画旅客经过 Source→Queue→Delay→Sink 的时间轴，在轴上标出"盖时间戳"和"读时间戳"的位置。
均值比较：两组实验的置信区间是否重叠。突破策略：在课次12用"平均到达间隔 5 分钟与改动后"两组 Monte Carlo 结果对比，并回到课次7 的重复仿真与置信区间概念。

思政目标

S01：随机数可重复、实验可复核。从"随机数应是可重复的"（P6）和线性同余法"由固定递推公式产生、必然循环"（P8）出发，要求作业2注明参数与实验次数，不挑选"好看的一次"，培养科研诚信。
S02：对旅客负责的工程判断。结合铁路车站自动售票机排队系统，说明候票时间关系到旅客体验与客流疏导，结论要用置信区间表述，不以一次运行下结论、不夸大仿真结果。
S03：科学使用工具并认清局限。伪随机数是确定性算法产生的，Excel 与 AnyLogic 的结果都依赖模型假设；用仿真辅助决策时，要交代假设、验证模型并说明适用范围，体现工程师的责任意识。

教学方式与媒体资源

主要教学方式

案例驱动：全章围绕课件同一个铁路车站自动售票机（TVM）单服务台系统，Excel 与 AnyLogic 两种实现相互印证。
课堂演算：先验算课件 P8 线性同余例子的前几项，再用一个小模数（ $m=16$ ）的线性同余发生器手算随机数，进而手算 6 位旅客的仿真表格，验证递推逻辑。
教师演示 + 学生跟做：Excel 与 AnyLogic 部分教师逐步演示，学生同步操作并在关键节点自查。
对照比较：Excel 结果与 AnyLogic 结果对照，单次运行与重复实验对照，仿真结果与排队论结果对照。

使用媒体资源

课件03（P1–46）；课件02 中自动售票机案例、M/M/1 公式、重复仿真与置信区间部分（用于回顾与对照）。
Excel：随机变量公式（P21–22）、定义名称（P23）、输入/输出区与指标公式（P24）、仿真表格与单元格公式（P25–26）、按钮与 VBA 宏（P27、P29–30）、实验结果表（P28）。
AnyLogic：Process Modeling Library、Space Markup、3D Objects、Analysis、Presentation 面板（P32–44）。
教师预先完成的 Excel 工作簿与 AnyLogic 模型（TVM），作为演示与应急备份。
课程网站发布课件、授课模型与作业提交入口（见大纲"课程网站"）。

参考书与参考资料

[1] 李季涛编. 交通运输系统仿真——使用AnyLogic. 中国铁道出版社, 2025.（主教材）
[2] Jerry Banks 著, 王谦译. 离散事件系统仿真（原书第5版）. 机械工业出版社, 2019.（随机数、随机变量产生、排队系统相关章节）
[3] Averill M. Law 著, 范文慧等译. 仿真建模与分析（原书第5版）. 机械工业出版社, 2017.
[4] 刘亮编. 复杂系统仿真的AnyLogic实践（第2版）. 清华大学出版社, 2023.
[5] Andrei Borshchev. The Big Book of Simulation Modeling. AnyLogic North America, 2013.

课前准备

教师准备

准备课次9、10 的手算数据单（线性同余发生器序列、三个分布的反变换计算、6 位旅客计算表）及参考答案；课前复算演示数据，并预备 Excel 中 RAND、LN 函数的演示。
准备课件 P8 的线性同余序列表（ $X_0=19,\ a=22,\ c=4,\ m=63$ ）作为验算对照。
备好 Excel 示例工作簿（含 Model、Experiment 两个工作表、"仿真运行"与"运行实验"两个按钮；宏代码中的引号须为英文半角引号）和 AnyLogic 的 TVM 模型逐阶段版本（阶段1至阶段4各存一份），防止现场操作卡住。
确认教室电脑安装的 AnyLogic 版本及授权；提前在其上试跑一遍 P32–44 的全部步骤。

学生准备

课次9 前：自学 3.1 排队模型，复习课件02 中 M/M/1 的服务强度、平均排队长、平均排队等待时间公式及 2.6 节置信区间。
课次10 前：带电脑（Excel 2010 及以上，能启用宏），复习 Excel 的 AVERAGE、MAX、IF、COUNTIF、RAND、LN 函数。
课次11 前：安装 AnyLogic（学习版或学校提供版本）。
课次12 前：完成课次11 的逻辑模型与动画，带模型文件到课堂。

教学过程

第9课次（第14周）随机数与随机变量的产生

环节与时间	教学内容（课件页）	教师活动	学生活动	设计意图 / 学习证据
导入（5'）	回顾课件02 手工仿真输入数据；P1–2 本讲结构	展示课件02 自动售票机输入表，说明"到达间隔来自均值5分钟的指数分布，服务时间来自三角分布"。提问："这些数字是怎么'抽'出来的？电脑里没有骰子。"	回答并口头猜测抽取方法。	引出随机数需求；证据：学生能说出"需要先有 $U(0,1)$ 随机数"。
3.1 自学检查 + 3.2.1 随机数概述（10'）	P2、P4–5	随机抽 2 名学生用自己的话说明 M/M/1 的三个符号、服务强度含义，补一句"3.1 为课前自学内容"。讲 P4：随机数是 $[0,1]$ 上等概率出现的数，密度 $f(x)=1\ (0\le x\le1)$ ， $E(R)=\tfrac12$ ， $V(R)=\tfrac1{12}$ ；讲 P5：随机数序列必须满足均匀性与独立性，并展示 1000 个均匀随机数的直方图，提问"直方图应该是什么形状？偏离多少算问题？"	回答；观察直方图是否近似平坦，写下一条判断依据。	复核自学效果并衔接；证据：口头回答、判断依据一句话。
3.2.2–3.2.3 伪随机数与生成方法（20'）	P6（伪随机数及 5 点要求）；P7–9（线性同余法、计算举例、最大密度与最大循环周期）	讲清"确定性递推算法产生的 $[0,1]$ 均匀序列叫伪随机数"，逐条解释 5 点要求（速度、可移植、周期足够长、可重复、均匀独立）。P7：线性同余法（Lehmer，1951） $X_{i+1}=(aX_i+c)\bmod m$ ， $R_i=X_i/m$ ； $X_0$ 为种子、 $a$ 乘子、 $c$ 增量、 $m$ 模数， $c\ne0$ 称混合同余法， $c=0$ 称乘同余法。P8：以 $X_0=19,\ a=22,\ c=4,\ m=63$ 为例， $X_1=44,\ X_2=27,\ X_3=31$ ，对应 $R_1=0.6984,\ R_2=0.4286,\ R_3=0.4921$ ；表中 $i=63$ 时 $X_{63}=19$ 回到种子，周期为 63。P9：最大密度（ $R_i$ 在 $[0,1]$ 上没有大间隔， $m$ 取大整数时影响很小）与最大循环周期（至多 $m$ ），实际软件常取 $m=2^{31}-1$ 或 $2^{48}$ 。再用小例子演示： $X_i=(5X_{i-1}+3)\bmod 16,\ R_i=X_i/16$ ， $X_0=7$ （练习数据）。	课堂演算：先验算 P8 的 $X_1\sim X_3$ ；再手算小例子 $X_1\sim X_{11}$ ，记在演算纸上，并继续算到序列回到 7。	理解"周期"与"可重复"；参考答案 $X_1\sim X_{11}$ ＝6, 1, 8, 11, 10, 5, 12, 15, 14, 9, 0，其后 3, 2, 13, 4, 7，周期 16。证据：演算纸。
3.3.1–3.3.2 随机变量与生成方法（20'）	P11–13	讲随机变量定义、选择算法的三项要求（准确性、效率、复杂性）及四类方法（反变换法、组合法、卷积法、舍选法，P11）。P12：反变换法是最常用且最直观的方法，要求 $F(x)$ 连续且严格递增、反函数易求；算法为 ① 产生 $R\sim U(0,1)$ ，② 返回 $X=F^{-1}(R)$ 。重点推导： $P(X\le x)=P(R\le F(x))=F(x)$ ；结合 P13 的图（ $\Delta F/\Delta x\to \mathrm dF/\mathrm dx$ ）说明几何含义与"符合原密度函数"的正确性。	跟推导，在图上标出 $R$ 、 $F$ 、 $X$ 对应关系，回答"若 $F$ 是离散的怎么办"（取使 $F(x)\ge R$ 的最小 $x$ ）。	突破难点；证据：学生能口头复述"概率累积值反查取值"。
3.3.3 常用随机变量的生成（20'）	P14–19（指数、均匀、三角）	按课件顺序讲三个公式。指数分布（P14–16，参数 $\lambda$ ，均值 $1/\lambda$ ）：由 $F(x)=1-e^{-\lambda x}=R$ 解得 $X=-\tfrac1\lambda\ln(1-R)$ ，因 $1-R$ 与 $R$ 同分布，课件写作 $X_i=-\tfrac1\lambda\ln R_i$ ；P15 用图示解释，P16 比较 200 个均匀随机数与由其变换得到的 200 个指数随机数的直方图（ $\lambda=1$ ）。均匀分布（P17，区间 $[a,b]$ ）： $X=a+(b-a)R$ 。三角分布（P18–19，端点 $a$ 、 $c$ ，众数 $b$ ）： $X=a+\sqrt{R(b-a)(c-a)}$ （ $0<R\le\frac{b-a}{c-a}$ ）， $X=c-\sqrt{(1-R)(c-b)(c-a)}$ （ $\frac{b-a}{c-a}<R<1$ ）。指出 $R=0$ 时 $\ln R$ 无定义，工程上常用 $1-R$ 的形式。	课堂演算：用上一环节小例子的 $R_1\sim R_6$ （0.375, 0.0625, 0.5, 0.6875, 0.625, 0.3125）算均值5的指数变量；算三角分布 $(a,b,c)=(0.5,3,7)$ （最小0.5、众数3、最大7）在 $R=0.25$ 与 $0.75$ 时的取值。	掌握公式使用；参考答案：指数 2.35, 0.32, 3.47, 5.82, 4.90, 1.87；三角 2.52、4.45（分界 $\frac{b-a}{c-a}\approx0.385$ ）。证据：演算纸、同桌互查。
练习与检验（10'）	P5、P16 对照；P21–22 预告	在 Excel 里用 `=RAND()` 与 `=-5*LN(1-RAND())` 各生成 1000 个数，做直方图，对照 P5 的均匀直方图与 P16 的指数直方图形状；无电脑时由教师演示。	观察并判断均匀、指数直方图是否符合预期。	实证随机数发生器；证据：直方图判断一句话。
小结与布置（5'）	P45 前两条主要内容	总结" $U(0,1)$ →反变换→各分布"链条；发布作业2 说明（服务时间为三角分布 $(0.5,3,7)$ ；课件的 Excel 示例服务时间为均匀分布 $U(1,6)$ ，作业需自行改为三角分布）。	记录作业要求，提出疑问。	衔接作业2；证据：学生记录的作业要点。

第10课次（第14周）用电子表格进行排队系统仿真

环节与时间	教学内容（课件页）	教师活动	学生活动	设计意图 / 学习证据
导入（7'）	P20；回顾课件02 手工仿真表	把课件02 的手工仿真"事件表"与 P25 的"每位旅客一行"的表格对比，提问："单服务台先到先服务，只靠每位旅客的哪几个数就能递推全部结果？"	讨论并回答：到达时刻、上一位的结束时刻。	建立"逐旅客递推"思路；证据：口头回答。
3.4.1–3.4.2 随机变量生成与变量设置（10'）	P21–23	说明输入分布：到达间隔服从均值 5 分钟的指数分布，购票时间服从 1～6 分钟的均匀分布；在单元格里用 RAND 与反变换法生成：服务时间 `=1+5RAND()`（可用 ROUND 控制精度），到达间隔 `=-5LN(RAND())`。演示"公式→定义名称"，讲解 P23 变量表（如 MeanInterarrivalTime 在 E4、InterarrivalTime 为 J5:J104）为何用名称而不用单元格地址。	在自己的工作簿定义 3 个名称：MeanInterarrivalTime、MinServiceTime、MaxServiceTime。	提高公式可读性；证据：学生工作簿中的名称管理器截图。
3.4.3 仿真表格设计：手算逻辑（20'）	P25 表格；P26 公式	展示 P25 的前 10 位旅客，指出第 6 位旅客到达 29.98、开始 35.56、等待 5.58（其前一位旅客 35.56 才结束服务）。逐列讲递推（对应 P26 的单元格公式）：到达 $K_i=K_{i-1}+J_i$ ；开始 $L_i=\max(N_{i-1},K_i)$ ；结束 $N_i=L_i+M_i$ ；等待 $O_i=L_i-K_i$ ；逗留 $P_i=N_i-K_i$ ；空闲 $Q_i=\max(K_i-N_{i-1},0)$ 。第 1 位旅客在仿真开始时刻 0 到达并立即开始服务。	课堂演算：用课次9 小例子的随机数流（到达间隔用 $R_1\sim R_5$ 、服务时间用 $R_6\sim R_{11}$ 分别按"均值5指数""均匀(1,6)"变换，练习数据），手算 6 位旅客的表格。	理解 L 列用 MAX 的含义。参考答案：到达 0, 2.35, 2.67, 6.14, 11.95, 16.86；开始 0, 2.56, 7.31, 13.00, 18.38, 22.19；等待 0, 0.21, 4.64, 6.86, 6.42, 5.33（均值约 3.91，6 人中 5 人需排队）。证据：计算表。
3.4.3 公式与性能指标（12'）	P24、P26	讲 P24 的输入区（平均到达间隔 5 分钟，最小/最大服务时间 1/6 分钟，旅客总数 100，仿真开始时间 0，仿真结束时间 EndTime）/输出区布局与 E15–E18 指标公式：平均排队等待 `=AVERAGE(TimeInLine)`、平均逗留 `=AVERAGE(TimeInSystem)`、服务台繁忙的概率 `=1-SUM(IdleTimeOfServer)/EndTime`、必须排队概率 `=COUNTIF(WaitedInQueue,">0")/NumberOfPassengers`。P26 的首行公式：J6 `=-MeanInterarrivalTimeLN(RAND())`、M5 `=MinServiceTime+(MaxServiceTime-MinServiceTime)RAND()`、Q6 `=IF((K6-N5)>0,K6-N5,0)`。	在 Excel 中输入第 1、2 行公式并下拉，核对手算结果。	手算与公式相互验证；证据：Excel 结果与手算一致的截图。
3.4.4–3.4.5 仿真运行与蒙特卡洛实验（21'）	P27–30	演示"仿真运行"按钮宏（P27：先令 Model 表 `EnableCalculation = True` 触发重算，再置为 False）：反复运行得到不同结果，展示 P24 示例单次结果（平均排队等待 6.64 分钟，平均逗留 9.95 分钟，必须排队概率 0.76）。再引出实验："运行实验"宏循环 N 次，把每次的 Model!E15 写入 Experiment 表（P29–30，实验次数在 D3，结果区 B11:C110），并用 P28 的公式统计均值（AVERAGE）、中值（MEDIAN）、置信区间半长（`CONFIDENCE.T(0.05, 标准差, 实验次数)`）、最小值、最大值、标准差（示例：均值 4.20、中值 3.80、半长 0.43、最小 1.38、最大 11.74、标准差 1.94）。强调 P28 的结果区间，说明"单次 6.64 是随机波动的一个样本"。	学生参照 P27、P29–30 编写宏（代码中的引号用英文半角），设置实验次数 50，运行并看到每次不同的等待时间；在实验表上画平均等待时间直方图。	理解重复实验必要性；证据：50 次实验表与直方图。
讨论：与理论模型对照（15'）	P28；课件02 M/M/1、重复仿真	提问："只有 100 位旅客、从'空闲且无人'开始，算出的平均等待能否代表系统长期水平？"。本例到达率 $\lambda=0.2$ 、服务时间均匀(1,6)， $E[S]=3.5$ 、 $E[S^2]=14.33$ 、 $\rho=0.7$ ，用 M/G/1 的 P-K 公式 $W_q=\frac{\lambda E[S^2]}{2(1-\rho)}$ 可算得约 4.78 分钟；与 P28 的实验结果（均值 4.20，半长 0.43，区间约 3.77～4.63）对照，讨论初始状态偏差与有限样本。	小组讨论 3 分钟，推选代表发言；写下"不一致可能的两个原因"。	对应 O1 的"与理论模型比较"；证据：小组发言要点。
小结与布置（5'）	P45 第3条	总结表格仿真四步：设计表格、设公式、运行、重复实验；提示作业2 的直方图（单次旅客等待时间、平均等待时间累积分布图）可用 Excel 的频数统计（如 FREQUENCY、COUNTIFS）或直方图图表工具完成。	记录，明确作业2 的截止时间和提交方式。	学生课后可独立开展；证据：作业2 进展询问。

第11课次（第15周）AnyLogic 排队系统逻辑模型与动画

环节与时间	教学内容（课件页）	教师活动	学生活动	设计意图 / 学习证据
导入（5'）	P31	提问："Excel 版要手写每一列公式，若改成两台自动售票机或增加优先队列，要改多少？" 引出基于过程建模库的搭建方式。	讨论 Excel 实现的不足。	说明工具必要性；证据：学生列出 2 条不足。
软件概述（12'，教师补充）	无课件页	演示 AnyLogic 界面：Projects、Palette、Properties 面板、Main 编辑窗口，运行与停止；区分 Agent（带属性的实体）、Parameter（智能体的属性）、Variable（全局量）。	对照界面找位置；记录三个概念的区别。	为难点"参数、变量、智能体"打基础；证据：学生判断练习（见难点）。
阶段1 逻辑模型（23'）	P32	演示新建项目 TVM、时间单位设为分钟；拖入 Source、Queue、Delay、Sink 四个模块并连接；设置：Source 的 Arrivals defined by 选 Interarrival time，Interarrival time 为 `exponential(0.2)` 分钟；Queue 容量 20；Delay 模块（命名 TVM）延时 `uniform(1,6)` 分钟。强调 AnyLogic 的 exponential 参数是速率 0.2（均值5分钟），与 Excel 中均值5分钟一致。	跟做，完成逻辑模型；运行一次并观察队列中的数字。	完成可运行的逻辑模型；证据：学生机上能运行的 TVM 模型。
阶段2 动画（一）：空间标记（15'）	P33	讲 Point Node 与 Path 的作用：Point Node 的 Color 设为 `TVM.size() > 0 ? red : green`，把 Point Node 关联到 TVM 的 Agent location，把 Path 关联到 queue。	绘制 Path、设置颜色表达式，运行后观察绿/红切换。	把逻辑模型"看得见"；证据：运行时售票机变红截图。
阶段2 动画（二）：智能体与 3D（20'）	P34–35	新建 Agent 类型 Passenger（选 Person），在 Source 的 New agent 里关联；添加 ATM 三维图形和 3D Window；在 Passenger 内添加 Parameter `PassengerType`（默认值 `uniform_discr(1,6)`），为 6 个人物 3D 对象设置 Visible 条件。	完成 Passenger 动画；说明 `PassengerType` 是智能体参数还是全局变量，并说出理由。	理解参数与智能体的关系；证据：学生口头判断、模型运行效果。
运行检验与讨论（10'）	P32–35	运行模型，提问："Excel 中 L 列 `MAX(N5,K6)` 对应 AnyLogic 里哪个模块行为？Queue 容量20 满了会怎样？"	分组讨论后回答。	建立两种实现之间的对应；证据：对应关系表（Excel 列 ↔ AnyLogic 模块）。
小结与布置（5'）	P32–35	小结阶段1–2；布置课程设计（使用 AnyLogic 建模，进度表要求）：确认选题并准备下次的统计数据收集。	保存模型，记录课后任务。	衔接课程设计与课次12；证据：已保存的模型文件。

第12课次（第15周）统计数据收集与蒙特卡洛仿真实验

环节与时间	教学内容（课件页）	教师活动	学生活动	设计意图 / 学习证据
导入（5'）	P36	检查学生是否带来上次模型；提问："要得到 Excel 里的 E15–E18 指标，AnyLogic 里应该去哪里读？"	打开模型，回答。	明确本次目标；证据：学生模型文件。
阶段3（一）内置统计与条形图（10'）	P36	讲 `TVM.statsUtilization.mean()` 与 `queue.statsSize.mean()`；演示 Bar Chart（Title、Color、Value）设置。	添加两个条形图，运行并读数。	获得利用率与平均队长；证据：运行截图。
阶段3（二）收集等待与逗留时间（20'）	P37–39	画时间轴说明三处代码：Source 的 On exit 写 `agent.arrivalTime = time();`，Queue 的 On exit 写 `waitTimeDistr.add(time() - agent.arrivalTime);`，Sink 的 On enter 写 `timeInSystemDistr.add(time() - agent.arrivalTime);`。演示 Passenger 添加 `arrivalTime`（double），添加两个 Histogram Data（20 个区间，初始区间 0.01）及 Histogram 图。	按步骤完成并运行；在时间轴上标出各行代码位置。	突破数据收集难点；证据：运行后出现两幅直方图、时间轴图。
终止条件与运行（10'）	P40–41	添加变量 `servicedNumber`（初值0），在 TVM 的 On exit 里加1，达到100调用 `getEngine().finish()`；展示运行结果（P41 示例：自动售票机利用率 0.607，平均服务时间 3.634，平均排队等待时间 2.702，平均系统逗留时间 6.337 分钟；单次运行结果随随机数而变）。	实现停止条件，运行并读取平均等待时间。	与 Excel 100位旅客设置一致；证据：模型在第100位旅客处停止。
阶段4 蒙特卡洛实验（25'）	P42–44	演示 New Experiment→Monte Carlo；迭代次数100；新建直方图，Expression `root.waitTimeDistr.mean()`；Model time 的 stop 设为 Never（由模型自身 finish 终止）；添加 Text 显示 `histogram0_data.mean()` 与 `meanConfidence()`；添加 Statistics 数据 `staQueueMean`（离散型），在 After simulation run 写 `staQueueMean.add(root.queue.statsSize.mean());` 并显示均值与半长（P44 示例：100 次迭代，平均排队等待时间均值 4.667、半长 0.464、标准差 2.339；平均排队长度均值 0.982、半长 0.118）。	创建实验并运行；记录平均排队等待时间的均值与置信区间半长、平均队长的均值与半长。	完成实验设计；证据：实验窗口截图与记录的四个数。
均值比较与灵敏度分析（15'，教师补充）	无对应课件页；回顾 P28、P43–44	把平均到达间隔改到 4 分钟（即 `exponential(0.25)`），再跑一次 Monte Carlo，比较两组"均值 ± 半长"是否重叠；提示若要系统地变动参数，可用参数变化类实验（教师视时间演示）。让学生对比 Excel 与 AnyLogic 结果（课件示例：Excel 为 4.20 ± 0.43，AnyLogic 为 4.667 ± 0.464，两个区间有重叠；均与 M/G/1 理论值约 4.78 分钟及理论平均队长 $L_q=\lambda W_q\approx0.96$ 相近）。	改参数、重跑、比较两组区间，在课堂记录表上写出结论。	对应进度表"均值比较""灵敏度分析"；证据：对比结论一句话。
本讲总结（5'）	P45–46	对照 P45 主要内容与基本要求做自评清单：Excel 单服务台仿真与实验；AnyLogic 逻辑、动画、统计、蒙特卡洛。	勾选自评并提出疑问。	回顾与自查；证据：自评清单。

课堂练习与课后作业

课堂练习：课次9 线性同余手算与三个分布的反变换计算；课次10 6 位旅客表格手算与公式校验；课次11–12 AnyLogic 搭建、统计与实验的跟做步骤。
课程作业2（电子表格仿真，个人，10 分，支撑 O2）：依据课次9–10 内容用 Excel 实现单服务台排队仿真和蒙特卡洛实验。要求：单次运行输出平均排队等待时间、平均系统逗留时间、服务台利用率、排队等待概率，并画旅客排队等待时间直方图；实验次数大于 50，输出平均排队等待时间的均值与置信区间半长，画平均等待时间直方图和累积分布图；输入：到达间隔为指数分布（均值 2–6 分钟自定），服务时间为三角分布（0.5, 3, 7），终止条件为完成购票旅客不少于 50 人。提交文件名"学号＋姓名-第2次作业"。
课程设计（团队，与课次11–12 对应）：使用 AnyLogic 为自选轨道交通运输组织问题建立仿真模型，课后继续完成统计数据收集与实验设计，为课程作业4 打基础。

教学评价

形成性评价证据	对应课程目标	评价要点
课次9 手算演算纸、反变换计算	O1	公式使用正确、能解释周期与反变换含义
课次10 6 位旅客手算表、Excel 公式核对截图	O1、O2	递推正确，Excel 结果与手算一致
课次10 蒙特卡洛实验表与直方图	O2	实验次数、均值与置信区间半长、图形完整
课次10 与理论模型对照发言	O1	能解释仿真与理论结果差异的原因
课次11 逻辑模型与动画运行截图	O4	参数设置正确，能运行
课次12 统计收集代码与 Monte Carlo 实验记录	O4	数据收集位置正确，会读均值与半长，会比较两组结果
课程作业2（总结性）	O2	按作业评分标准
课堂表现	课堂表现（5分）	参与度、纪律

O3（输入数据分析）与 O5（国际发展趋势）本章不直接评价；本章仅用"输入分布由哪些变量生成"预告 O3。

板书设计

第3章 排队系统建模与仿真
  3.2 随机数    U(0,1)  伪随机数：确定性递推 + 5点要求
                X_{i+1} = (a X_i + c) mod m ,  R_i = X_i / m   (周期 ≤ m)
  3.3 随机变量  反变换法：X = F^{-1}(R)
                指数 -(1/λ) ln(1-R) | 均匀 a+(b-a)R | 三角 分段(分界 (b-a)/(c-a))
  3.4 Excel     行=旅客：K=K'+J ; L=MAX(N',K) ; N=L+M ; O=L-K ; P=N-K
                单次运行 → 重复 N 次 → 均值 ± 半长
  3.5 AnyLogic  Source → Queue → Delay(TVM) → Sink
                动画：Point Node / Path / Agent
                统计：arrivalTime → Histogram Data → Monte Carlo

教学反思（课后填写）

学生是否能说清反变换法的含义，而不只是记住公式？哪些学生在手算 $U\to X$ 时出错，错在哪一步？
学生从手算表格到 Excel 公式、再到 AnyLogic 模块的对应关系是否建立起来？课堂上哪一个环节用时超出计划？
学生是否能用"均值 ± 半长"而不是单次结果描述仿真结论？课后作业2 提交时暴露了哪些共性问题？

交通运输系统仿真

第3章 排队系统建模与仿真 教案

课程教学进度安排

教学目标与重点难点

教学目标

教学重点

教学难点

思政目标

教学方式与媒体资源

主要教学方式

使用媒体资源

参考书与参考资料

课前准备

教师准备

学生准备

教学过程

第9课次（第14周）随机数与随机变量的产生

第10课次（第14周）用电子表格进行排队系统仿真

第11课次（第15周）AnyLogic 排队系统逻辑模型与动画

第12课次（第15周）统计数据收集与蒙特卡洛仿真实验

课堂练习与课后作业

教学评价

板书设计

教学反思（课后填写）

第3章排队系统建模与仿真教案